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本文采用的吊臂高度為8 m，寬度為7m，吊臂截面為一邊長60cm的方梁結(jié)構(gòu)。具體的尺寸參數(shù)如圖1所示。首先利用三維軟件對結(jié)構(gòu)進(jìn)行建模，利用Hypermesh對吊臂結(jié)構(gòu)進(jìn)行有限元建模。有限元模型如圖2所示。

DOE優(yōu)化過程如圖3所示。優(yōu)化過程大致可以描述為:根據(jù)DOE抽樣理論，對結(jié)構(gòu)鋼板厚度的設(shè)計(jì)空間進(jìn)行科學(xué)抽樣。通過有限元軟件二次開發(fā)的方法，將采樣值嵌入有限元解文件，將解文件提交給有限元求解器，返回結(jié)構(gòu)目標(biāo)函數(shù)和約束響應(yīng)值。根據(jù)樣本點(diǎn)和相應(yīng)的響應(yīng)值，構(gòu)建了優(yōu)化問題的近似模型，并在此模型基礎(chǔ)上利用優(yōu)化算法進(jìn)行對齊和搜索。這種方法的優(yōu)點(diǎn)是不需要搜索原始模型。由于搜索算法的限制，很多搜索會陷入無效搜索過程，但返回原模型的響應(yīng)值會浪費(fèi)大量計(jì)算時間。構(gòu)建優(yōu)化問題的近似模型可以使優(yōu)化算法在優(yōu)化過程中只搜索優(yōu)化后的近似模型，而不是從原模型返回響應(yīng)值，使用近似模型返回響應(yīng)值更快。

為了仔細(xì)研究吊臂的結(jié)構(gòu)，將吊臂各鋼板的厚度作為設(shè)計(jì)變量。每個設(shè)計(jì)變量的數(shù)量如圖2所示。有10個設(shè)計(jì)變量，相當(dāng)大。然而，并非所有的設(shè)計(jì)變量都對結(jié)構(gòu)目標(biāo)函數(shù)敏感，這可能會在后續(xù)的優(yōu)化過程中浪費(fèi)計(jì)算時間。因此，本文基于Plackett Burman 試驗(yàn)設(shè)計(jì)理論對設(shè)計(jì)空間進(jìn)行采樣，采樣點(diǎn)見表1。這些樣本點(diǎn)通過二次開發(fā)的方法嵌入到fem有限元解文件中，提交給有限元求解器，并提取它們的響應(yīng)值。從每個樣品返回的結(jié)構(gòu)剛度、最大應(yīng)力和結(jié)構(gòu)質(zhì)量列于表1。

對表1中的設(shè)計(jì)變量及其響應(yīng)值進(jìn)行敏感性分析，分析各變量對結(jié)構(gòu)剛度、最大應(yīng)力和結(jié)構(gòu)質(zhì)量的敏感性。結(jié)果列于表2。可以得出結(jié)論，變量1的設(shè)計(jì)厚度對結(jié)構(gòu)剛度、最大應(yīng)力和結(jié)構(gòu)質(zhì)量不敏感。說明后續(xù)對這個變量的研究意義不大，所以去掉了這個變量。最后，只研究變量2-10。

建立近似模型有兩個步驟:1 .基于Hammersley采樣理論對設(shè)計(jì)變量2-10的設(shè)計(jì)空間進(jìn)行采樣，根據(jù)采樣點(diǎn)通過有限元過程返回結(jié)構(gòu)的響應(yīng)值，擬合優(yōu)化問題的近似模型；2.基于拉丁超立方體采樣理論，對設(shè)計(jì)變量2-10的設(shè)計(jì)空間進(jìn)行采樣，并通過有限元過程返回其響應(yīng)值。通過哈默斯利采樣獲得的采樣點(diǎn)及其響應(yīng)值列于表3。

利用拉丁超立方體對設(shè)計(jì)空間進(jìn)行采樣，驗(yàn)證擬合得到的近似模型的正確性。讓近似模型返回樣本點(diǎn)的響應(yīng)值，并與表4中樣本點(diǎn)有限元過程返回的響應(yīng)值進(jìn)行比較。通過對比發(fā)現(xiàn)，近似模型返回的響應(yīng)值與有限元模型返回的響應(yīng)值相對誤差較小，尤其是結(jié)構(gòu)質(zhì)量的誤差幾乎為零，說明近似模型具有良好的可靠性。

遺傳算法是一種模擬生物進(jìn)化過程的算法。無論是線性問題還是非線性問題，都有很好的收斂性。對于給定的收斂精度，可以用較少的搜索時間滿足計(jì)算要求。本文將基于遺傳算法對近似模型進(jìn)行優(yōu)化。優(yōu)化過程中，最大計(jì)算步數(shù)為200，最小搜索步數(shù)為25，種群數(shù)量為50，變異率為0.01，隨機(jī)因子為1，懲罰因子為2，分布系數(shù)為5，收斂精度為0.001。結(jié)構(gòu)初始剛度為1 135 N/mm，最大應(yīng)力為44.3 MPa，結(jié)構(gòu)質(zhì)量為4.3 t，本次優(yōu)化以結(jié)構(gòu)剛度最大化為目標(biāo)函數(shù)，約束條件為結(jié)構(gòu)最大應(yīng)力不超過35 MPa，結(jié)構(gòu)質(zhì)量不超過3.9 t。

最終優(yōu)化結(jié)果是變量1-10的厚度分別為10毫米、10.01毫米、10.00毫米、10.00毫米、10.00毫米、19.96毫米、15。依次為13毫米、20.01毫米、10.87毫米和20.00毫米。優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)剛度為1241.82N/mm，結(jié)構(gòu)最大應(yīng)力為34.82mm，結(jié)構(gòu)質(zhì)量為3.9t，與原結(jié)構(gòu)相比，優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)剛度提高了9.4%，最大應(yīng)力降低了21.4%，結(jié)構(gòu)質(zhì)量降低了9.3%。

在本文中，借助各種DOE 試驗(yàn)設(shè)計(jì)理論，對設(shè)計(jì)變量進(jìn)行科學(xué)采樣并提交至有限元流程。通過樣本點(diǎn)及其響應(yīng)值，基于最小二乘理論擬合得到一個優(yōu)化的高精度近似模型。基于遺傳優(yōu)化算法，對近似模型進(jìn)行優(yōu)化搜索。結(jié)果表明，與原結(jié)構(gòu)相比，優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)剛度提高了9.4%，最大應(yīng)力值降低了21.4%，結(jié)構(gòu)質(zhì)量降低了9.3%。由于優(yōu)化只研究結(jié)構(gòu)鋼板的厚度，對結(jié)構(gòu)的拓?fù)浜托螤顩]有影響，加工時只需選擇不同厚度的鋼板即可實(shí)現(xiàn)。